こんにちは、凡才です。
前回の記事では、参考書「博士の愛した数式」から少し深掘りして、
「生活に使えるかもしれない数式」について紹介しました。
ちょっと数式おもしろいかも…とおもっていただけた方はおられますか？
しかし、もしかしたら中にはこんな方もおられたかもしれません。
実用的な式はもちろんありがたいんだけど、
もっと有名な数式の知識を披露して
博識な感じを存分に見せつけたいんだ！
今回は、そんなワガママなあなたのドヤリティ（造語です）を高める
「有名な数式」について、いくつか紹介します。
科学、数学の世界で有名な式と、それが意味するものやエピソードなどを紹介していきます。
もちろんですが、数式の証明などの込み入った話はしません！
そもそも私ごときでは来世まで費やしても証明できませんし、
記事としても面白くないので（笑）
あくまで読み物の1つとして、気楽にお付き合いください！
引き続き、参考書は以下です。
それでは、めくるめく数式の世界をのぞいてみましょう！
有名な数式4選
今回紹介する有名な数式は、以下の4つです。
- （タイムマシーンの根拠！）特殊相対性理論の「時間の遅れ」
- (約300年間解かれなかった難問)フェルマーの最終定理
- (数学界で最も美しい式)オイラーの等式
- (虚数とかsin,cos,tanって役に立つ？に結論)クォータニオン
順番に見ていきましょう。
特殊相対性理論の「時間の遅れ」
アインシュタインの代名詞ともいえる「相対性理論」。
名前は知ってるけど、実際の内容って概要すら知らないですよね。
この式は、「特殊相対性理論」の中にある数式です。
$$\Delta t` = \sqrt{1-(\frac{v}{c})^2} \Delta t$$
Δt`：宇宙船内での時間の刻み幅
Δt：地球での時間の刻み幅
v：宇宙船の速さ
c：光速
なに！？急に宇宙船とか出てきたけど、
いつの間にスペーストラベルしてたの！？
と思われるかもしれませんが、仮定の話です。
この数式が伝えているのは、ざっくりいうと
移動速度が光速に近づくほど、中の時間の流れはゆっくりになる
ということです。
この数式がタイムマシーンの理論的根拠！
もうずいぶん前になりますが、光速を超える速さが検出されたとして
「ニュートリノ」という物質が世間をにぎわせました。
（実際は、測定機器の誤差による誤りだったと翌年に発表されています）
そして当時、その話題のニュースになると、
「タイムマシンが実現できる可能性が出てきた」という話がよく出ていました。
でも、ほとんどの人からすると
光の速さとタイムマシンがどう関係するの？
と疑問に思ったのではないでしょうか。
私は当時、高校生でしたがもちろん意味が分からなくて、
物理の先生に聞いてみたところ、この特殊相対性理論のことを
ざっくり教えてくれました
この「時間の遅れ」の式に従うとすると、
物質の移動速度が光速に近づくほど、中の時間の流れはゆっくりになる。
ということは、光速を超える速さであれば時間は巻き戻るのでは？という発想のようです。
なんとも夢のある話ですね。
しかし、同時にアインシュタインは「真空中で光より速い物質は存在しない」とも言っているそうですし、
光速を超える速さで移動されたら、中にいる生物も無事ではいられません…
以上のことから、タイムマシンは
「原理的にはできる可能性があるけど、物理的には無理」というのが実際のところのようです。
フェルマーの最終定理
何となく名前だけは聞いたことがある、という方も多いのではないでしょうか。
実は内容そのものは、中学生でも理解できるようなシンプルなものです。
nが3以上の自然数であるとき、
$$x^n + y^n = z^n$$
を満たす自然数(x, y, z)は存在しない
いかがでしょう。どういう内容かはお分かりいただけるのではないでしょうか。
n=2のときは、皆さんおなじみの「三平方の定理」になります。
それがnが1増えるだけで、満たすような自然数が存在しなくなるというのです。
ただ、シンプルな内容ではあるものの、これを証明するとなると話は別で、
なんとこの命題が発見されてから300年以上にわたって、
誰も証明できない問題になってしまいます。
でも「フェルマーの」ってついてるんだから、
フェルマーは証明できてたんじゃないの？
と思われるかもしれませんが、この命題が発見されたフェルマーの書物に記されていたのは、
たった1文、
「私はこの命題について、真に驚くべき証明を見出したが、それを記すにはここはあまりに余白が足りない」
しかも、フェルマーの死後も、
この証明が記されたような書物が見つからなかったのです。
「衝撃の展開！」ってさんざん引っ張っておいて、
途中で打ち切られたTVドラマみたいな後味
一連のエピソードから察するに、
フェルマーは私とはお友達になれない（なりたくない）
タイプの人だったと予想できます
あなたはどうですか？
なぜ「最終」定理なの？
ちなみに、なぜフェルマーの「最終」定理と呼ばれるのでしょうか。
実は、この問題が書かれていたのは、
フェルマーが問題集に注釈のような形で書き込みをした本で、
これ以外にも全部で48の注釈が記されていました。
フェルマーの死後に発見されたのち、世界中の数学者が続々と内容の証明に取り組みましたが、
最後の最後、この1問だけが誰も証明できませんでした。
最後に残った命題なので「最終」定理と呼ばれています。
※厳密には数学の世界では、「正しそうだけど証明はできていない命題」を「予想」と呼び、
「予想」が証明されると「定理」になります、
なので、「フェルマーの最終予想」と呼ぶのが正しいですが、
あくまでフェルマー自身は「証明した」と主張しているので、
「定理」と呼ばれていたようです。
数学界最大の忖度では？
この「フェルマーの最終定理」をめぐる数学者たちの戦いは、
以下を読んでみると深く知ることができます。
また、上の書籍をもとに、
中田敦彦さんのYouTubeでもわかりやすくお話されていますので、
興味が湧いた方はチェックしてみてください。
（前後編合わせて1時間程度あるので、お時間のあるときにどうぞ）
オイラーの等式
この数式は、
今回の参考書である「博士の愛した数式」の本文中にも登場します。
$$e^{i\pi} +１ = 0$$
かなりシンプルな形の式です。
急に出てきたeってなに？
という方のために説明しますと、
eは「ネイピア数」と呼ばれるもので、細かい説明は省きますが、
円周率πと似たように「小数点以下が無限に続く(2.71828…)」「数学的に重要な定数」です。
これと、円周率π、虚数iがシンプルな等式でつながるということを示している等式です。
このオイラーの等式は、結論として得られる形のシンプルさから
「数学史上最も美しい等式」と呼ばれます。
といっても、実際にe=2.718…とπ=3.141…を代入しても、
成り立つものではなく、実用性という面では
「見て愛でる」以外の使い道は特にないようです。
それよりも、この等式を求める過程で出てくる「オイラーの公式」の方が、
物理学の世界で大きな実用性があるとのことです。
$$e^{i\theta} = cos\theta + i sin\theta$$
三角関数を指数関数として扱えるため、微分方程式を扱う場面で非常に重宝される式です。
具体的な使い道は私自身もよくイメージできませんが（笑）
クォータニオン
多くの皆さんが経験したとおり、高校数学に閃光のごとく現れ、
終始、我々の頭をかき乱してくるのが、
「虚数」と「三角関数（sin cos tan)」です。
「これが社会でどう役に立つんや！」と疑問を通り越した憤り
を感じるのはすべての高校生が通る道ではないでしょうか
実は2021年にある企業が、この全高校生を悩ませる疑問に1つの答えを示してくれました。
その企業は「SEGA」
ゲームセンターでおなじみの会社ですね。
2021年6月、SEGAの公式ブログにて、社内勉強用の資料が公開されました。
そこには虚数iやsin cosがびっしり！
なんと、みんな大嫌いな虚数やsin cosが、
みんな大好きなゲームの裏側で活躍している、というのです。
虚数とsin cosの組み合わせで表現される
「クォータニオン(四元数)」と呼ばれるものが、
3Dゲームにおける視点の回転を計算するのに使われているそうです。
$$(w`+ix`+jy`+kz`) = (wcos\theta – xsin\theta) + i(wsin\theta + xcos\theta) $$
$$+ j(ycos\theta – zsin\theta) + k(ysin\theta + zcos\theta)$$
学校の授業で、ひと言でもこういう使い方の話をしてくれれば
習う側のモチベーションも変わってくると思うのですが…
これから虚数や三角関数を学ぶ人は、こういう使い道もある知識なんだ
とイメージしながら勉強すると興味が出てくる！…かも。
まとめ
今回は、前回に引き続き「博士の愛した数式」から深掘りして、
「知っていると自慢できるかもしれない有名な数式」について紹介しました。
- （タイムマシーンの根拠！）特殊相対性理論の「時間の遅れ」
- (約300年間解かれなかった難問)フェルマーの最終定理
- (数学界で最も美しい式)オイラーの等式
- (虚数とかsin,cos,tanって役に立つ？に結論)クォータニオン
何となく数式への拒絶反応が落ち着いたかも！
意外と好きにはなれなくても、
「嫌いではない」ぐらいまで持っていければ
勉強は苦にならなかったりすることもあります
「数学が苦手で、1人では厳しい」「子どもに数学頑張ってほしい」という方には、
数学専門のオンラインスクール「数強塾」がおすすめです。
中高一貫、インターナショナルスクールにも対応可能で
オンラインのため場所を問わず受講できるのが大きな魅力です。
体験レッスンから始められるので、気になった方はぜひご検討ください！
また、参考書も面白いので、気になった方は是非。
以上、凡才でした。
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